3차 방정식 계산기
3차 방정식 계산 방법
방정식
카르다노 공식
x1 = -3
x2 = 1
x3 = 2
이 계산기에 대하여
삼차방정식 ax³ + bx² + cx + d = 0은 차수가 홀수이므로 항상 최소한 하나의 실근을 가집니다. x = t − b/3a로 치환해 이차항을 없애면 t³ + pt + q = 0 형태의 축소 삼차방정식이 되고, 여기에 카르다노 공식을 적용합니다.
실근이 세 개인 경우도 있어 이때는 삼각함수를 이용한 형태로 계산합니다. 예를 들어 x³ − 7x + 6 = 0은 근이 x = 1, x = 2, x = −3이고, x³ − 8 = 0은 실근 2와 복소근 −1 ± 1.732i를 가집니다.
핵심 공식:
t³ + pt + q = 0 · p = c/a − b²/3a² · q = 2b³/27a³ − bc/3a² + d/a자주 묻는 질문
삼차방정식은 항상 실근을 가지나요?
네. 홀수 차수 실계수 다항식은 실근을 최소 한 개 가집니다. 그래프가 +∞에서 −∞까지 이어지므로 x축을 반드시 한 번 이상 지나기 때문입니다. 나머지 두 근은 실수일 수도, 복소수일 수도 있습니다.
카르다노 공식이 실근에서도 복소수가 나오는 이유는?
실근 3개인 경우(기약 케이스) 중간 계산에서 음수의 제곱근이 등장하기 때문입니다. 계산기는 이 경우 삼각함수 형태로 우회해 실수만으로 근을 구합니다.