Quadratische Gleichung Rechner
Quadratische Gleichung Berechnungsmethode
Gleichung
Diskriminante
Mitternachtsformel
D = 16
x₁ = 2
x₂ = -2
Über diesen Rechner
Eine quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 wird über ihre Diskriminante D = b² − 4ac klassifiziert: zwei verschiedene reelle Lösungen bei D > 0, eine doppelte Lösung bei D = 0 und ein komplex konjugiertes Paar bei D < 0.
Für x² − 5x + 6 = 0 ist D = 1, die Lösungen sind x = 2 und x = 3. Der Satz von Vieta liefert die Gegenprobe: Die Summe ist −b/a = 5, das Produkt c/a = 6.
Die Parabel y = ax² + bx + c hat ihren Scheitelpunkt bei x = −b/2a, also genau in der Mitte zwischen den beiden Lösungen. Bei x² − 5x + 6 liegt der Scheitel bei x = 2,5, zwischen 2 und 3, und der minimale Funktionswert beträgt dort −0,25.
Formel:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a · D = b² − 4acHäufige Fragen
Warum ist die Diskriminante wichtig?
Sie sagt vor dem Rechnen, welche Art von Lösungen zu erwarten ist: positiv bedeutet zwei reelle, null eine doppelte, negativ keine reelle, sondern ein komplexes Paar. Im Schaubild entspricht sie der Zahl der Schnittpunkte mit der x-Achse.
Wie werden komplexe Lösungen angezeigt?
Als Realteil plus beziehungsweise minus Imaginärteil. Bei x² + 1 = 0 ist D = −4, die Lösungen sind 1i und −1i. In der Elektrotechnik schreibt man die imaginäre Einheit häufig als j statt i.
Wo liegt der Scheitelpunkt der Parabel?
Bei x = −b/2a. Mit a = 1 und b = −5 ergibt das x = 2,5. Da die Parabel zu dieser senkrechten Geraden symmetrisch ist, liegen beide Lösungen immer gleich weit davon entfernt – eine schnelle Gegenprobe.
Wie faktorisiere ich x² − 5x + 6?
Gesucht sind zwei Zahlen, deren Summe 5 und deren Produkt 6 ist: Das sind 2 und 3, also lautet die Zerlegung (x − 2)(x − 3). Setzt man jeden Faktor null, erhält man dieselben Lösungen wie im Rechner.