Kubische Gleichung Rechner

Kubische Gleichung Berechnungsmethode

Gleichung

Cardanische Formel

x1 = -3

x2 = 1

x3 = 2

Über diesen Rechner

Eine kubische Gleichung ax³ + bx² + cx + d = 0 hat wegen des ungeraden Grades immer mindestens eine reelle Lösung. Die Substitution x = t − b/3a entfernt das quadratische Glied und führt auf die reduzierte Form t³ + pt + q = 0, auf die Cardano angewendet wird.

Sind alle drei Lösungen reell, wird der trigonometrische Zweig verwendet. Beispielsweise hat x³ − 7x + 6 = 0 die Lösungen 1, 2 und −3, während x³ − 8 = 0 die reelle Lösung 2 und das komplexe Paar −1 ± 1,732i besitzt.

Wer eine Lösung errät, kommt oft schneller ans Ziel als mit Cardano: x³ − 7x + 6 = 0 hat die Lösung x = 1, denn 1 − 7 + 6 = 0. Die Polynomdivision durch (x − 1) ergibt x² + x − 6 mit den weiteren Lösungen 2 und −3.

Formel:t³ + pt + q = 0 · p = c/a − b²/3a² · q = 2b³/27a³ − bc/3a² + d/a

Häufige Fragen

Hat jede kubische Gleichung eine reelle Lösung?

Ja. Jedes Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten hat mindestens eine reelle Nullstelle, weil sein Graph von −∞ nach +∞ läuft und die x-Achse daher mindestens einmal schneidet. Die beiden anderen Lösungen können reell oder komplex sein.

Warum treten bei drei reellen Lösungen komplexe Zwischenwerte auf?

Das ist der Casus irreducibilis: Die Zwischenwurzel wird aus einer negativen Zahl gezogen, obwohl alle Lösungen reell sind. Der Rechner umgeht das mit der trigonometrischen Form und rechnet durchgehend mit reellen Zahlen.

Wie faktorisiere ich nach dem Erraten einer Lösung?

Teilen Sie das Polynom durch (x − geratene Lösung). Bei x³ − 7x + 6 und der Lösung 1 ergibt die Division x² + x − 6, also (x − 1)(x − 2)(x + 3). Die restlichen Lösungen folgen dann aus der quadratischen Gleichung.

Wo treten kubische Gleichungen praktisch auf?

Bei Volumenaufgaben mit Kantenlängen, in der Thermodynamik (Zustandsgleichungen realer Gase) und bei Optimierungsproblemen mit kubischen Kostenfunktionen. Auch die Schnittpunkte zweier Parabeln oder einer Gerade mit einer Parabel dritten Grades führen darauf.