三次方程式 計算機
三次方程式 計算方法
方程式
カルダノの公式
x1 = -3
x2 = 1
x3 = 2
この計算機について
三次方程式 ax³ + bx² + cx + d = 0 は次数が奇数なので、必ず少なくとも1つの実数解を持ちます。x = t − b/3a と置いて二次の項を消すと t³ + pt + q = 0 という簡約形になり、ここにカルダノの公式を適用します。
実数解が3つになる場合もあり、そのときは三角関数を使った形で計算します。例えば x³ − 7x + 6 = 0 の解は 1、2、−3 で、x³ − 8 = 0 は実数解 2 と複素数解 −1 ± 1.732i を持ちます。
計算式:
t³ + pt + q = 0 · p = c/a − b²/3a² · q = 2b³/27a³ − bc/3a² + d/aよくある質問
三次方程式は必ず実数解を持ちますか？
はい。奇数次で実数係数の多項式は少なくとも1つの実数解を持ちます。グラフが −∞ から +∞ へ向かうため、x軸と必ず1回以上交わるからです。残りの2つの解は実数でも複素数でもかまいません。
実数解が3つなのに複素数が出てくるのはなぜですか？
還元不能の場合と呼ばれ、最終的な解はすべて実数でも計算途中で負数の平方根が現れます。この計算機は三角関数の形で計算するため、途中も実数のまま処理します。